Classificação de uma Equação Diferencial Ordinária

Ordem:

• A ordem de uma equação diferencial ordinária é dada pela ordem da maior derivada.

Vejamos o seguinte exemplo:

y'' - 3y' + 4y = 0

Esta equação é de segunda ordem, pois a maior derivada é a segunda derivada.


Grau:

• O grau de uma equação diferencial ordinária é dado pelo grau de derivada de maior ordem.

Vejamos um exemplo:

(y⁴ )³ + 3y''' - 7(y')⁸ + x = 0

Esta equação possui ordem 4 e grau 3.

Solução:

• É a função ou funções que satisfazem a equação diferencial.

Interpretação Geométrica:

• A interpretação geométrica faz-se através do campo de direcções o qual nos indica que a função tem uma família de soluções e que apresenta uma constante. Cada seta representa a derivada em cada um dos pontos.

Vejamos o seguinte exemplo:

 

Equação Diferencial

Uma Equação Diferenciável é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na quação na forma das suas respectivas derivadas.

Estas equações dividem-se em dois tipos:

• Equação Diferencial Ordinária (EDO): este tipo de equações possui apenas funções de uma variável e derivadas daquela mesma variável.
• Equação Diferencial Parcial (EDP): este tipo de equações possui funções com mais do que uma veriável e as suas derivadas parciais.

Regra de Primativação por Partes

Quando temos o produto de duas funções f e g temos que as primitivar separadamente e não em conjunto. Assim:


(f . g) = f'g + fg'


∫(f . g)' = ∫(f'g) + ∫(fg')


∫f´g = f . g - ∫fg'

Vejamos um exemplo:

• Resolva ∫ ln(x) dx

f = x ; f' = 1
g = ln(x) ; g' = 1/x

Assim, temos:

 ∫ ln(x) dx = x ln(x) - ∫x. (1/x) = x ln(x) - x +c

Tabela Básica de Integrais Indefinidas

Função	Integral Indefinida
xn, n ≠ -1	∫ xn dx = (1/n + 1) . xn+1  + c
1/x	∫ 1/x dx = ln|x| + c
ax	∫ ax  dx = [1/ln(a)] . ax
sen(x)	∫ sen(x) dx = - cos(x) + c
cos(x)	∫ cos(x) dx = sen(x) + c

Integral Indefinida

Sendo F(x) + c a família de antiderivadas de f, essa corresponde à integral indefinida de f. É representada por:

 

Através do Teorema do Cálculo Fundamental, sabe-se que:

sendo F(x) uma antiderivada de f(x).

Este Teorema mostra-nos que para se calcular uma integral definida necessitamos de determinar uma integral indefinida.

Propriedades de Integrais Definidas

Sejam f e g duas funções integráveis no intervalo [a,b], são válidas as seguintes afirmações:

5  ∫^b_a f(x) ± g(x) = ∫^b_a f(x) ± ∫^b_a g(x)

Área de Superfícies Planas

Considere a seguinte função f(x). Vamos calcular uma área por defeito e outra área por excesso, sendo:

• a área a vermelho corresponde à àrea por defeito;
• aárea a azul corresponde à àrea em excesso.


Tendo que :

Ai < A < As

Desta modo, conclui-se que dividindo o intervalo em 10 subintervalos do mesmo tamanho vamos obter que a área original é tal que:

3,56 < A < 4,31

Nota: Aumentando a subdivisão, obtêm-se aproximações cada vez melhores.

Integral Definida

Seja f uma funão definida no intervalo [a,b]. A integral definida desta função é definida por:

  Onde:

• ∫ é designado por integral;

•  f(x) é o integrando;

•  a, b são os limites de integração;

•  [a,b] é o intervalo de integração;

• dx representa o comprimento ∆xi do subintervalo infinitesimal.

Tabela básica de Antiderivadas

Função	Antiderivada
xn  , n ≠ -1	(1/n+1) .  xn+1
1/x	ln|x|
ax	[1/ln(a)] . ax
sen(x)	- cos(x)
cos(x)	sen(x)

Antiderivada de uma Função

Define-se F como sendo uma antiderivada ou primitiva de f no intervalo I, se:

F'(x) = f(x)


Se F é uma antiderivada de f no intervalo I, então pode-se dizer que F + c é uma família de antiderivadas de f, sendo c uma constante.

Derivada da Função Inversa

Seja y = f(x) uma função derivável no ponto x, onde f’(x) ≠ 0. A função Inversa de y = f(x) que representamos por x = g(y)é derivável no ponto y sendo y = f(x), a sua derivada é:

Polinómio de Taylor

O polinómio de Tayor é uma série de funções que:


Por outras palavras, é uma expansão de uma série de funções em redor a um determinado ponto.
Uma função real f(x) em redor de um determinado ponto a, escreve-se a série do seguinte modo:







Nota:

• Caso a = 0, o polinómio é designado por Polinómio de Maclaurin;
• Quanto maior o grau do polinómio, maior a aproximação do gráfico.

Regras Operatórias das Derivadas

• [c.f(x)]' = c.f(x), sendo c uma constante real;

• [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

• [f(x) . g(x)]' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)

• [f(x) / g(x)]' = f'(x) . g(x) - f(x) . g'(x)

                                            g(x)²

Propriedades das Derivadas

• f(x) = c ; f'(x) = 0

• f(x) = xⁿ ; f'(x) = n x^n-1 

• f(x) = 1/n ; f'(x) = 1/ nⁿ√(x^n-1)

• f(x) = a^x ; f'(x) = a^x ln(a)

• f(x) = log_ax ; f'(x) = 1/ x ln(a)

• f(x) = sen(x) ; f'(x) = - cos(x)

• f(x) = cos(x) ; f'(x) = sen(x)

• f(x) = x ; f'(x) = 1

• f(x) = c g(x) ; f'(x) = c g'(x)

• f(x) = ln(x) ; f'(x)= 1/x

• Regra da Cadeia: f(x) = g[u(x)] ; f'(x) = g'[u(x)].u'(x)

Derivada

Uma função diz-se diferenciável num ponto x = a, se:

,

onde:

existe.

Neste caso, o limite é representadao por ou por , designando-se por derivada de f em x = a.

Considera-se a inclinação da secante, os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

Nota:

• Dizemos que uma função é diferenciável se tiver derivada em todos os pontos do seu domínio;
• Se f é diferenciável em c, então f é contínua em c;
• Uma função é contínua em c não é necessariamente diferenciável em c.

Limites Exponenciais

Sabe-se que as funções exponenciais são contínuas em todo o seu domínio. Desse modo, se f(x) = a^x  , com a Є R+/ {1}, então é válido o limite:


lim a^x  = a^c  
x->c

Limites Infinitos

Seja uma função f e um número qualquer c no intervalo (a;b). Suponhamos que f está definida em (a;b), mas não necessariamente em c.


Dizemos que:

Se para qualquer número Ԑ > 0 existe um número ᵟ > 0 correspondente de tal modo que:
f(x) > Ԑ, sempre que 0 < |x - c| < ᵟ










Seja uma função f e um número qualquer c no intervalo (a;b). Suponhamos que f está definida em (a;b), mas não necessariamente em c.

Dizemos que: 

 

Se para qualquer número Ԑ > 0 existe um número ᵟ > 0 correspondente de tal modo que:
f(x) < -Ԑ, sempre que 0 < |x - c| < ᵟ

Limites no Infinito

Um limite no Infinito define-se pelo lim x-> +00 f(x) como sendo o número L (caso exista) tal que para todo o Ԑ > 0 (tão pequeno quanto queiramos) existe N (suficientemente grande) tal que se x > N então |f(x) - L| < Ԑ.

Continuidade

Uma função é continua, quando:

• a pertence ao domínio da função;
• existe o limite da função quando x tende para a
•  

  

Nota: Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.


Vejamos alguns exemplos de funções contínuas e descontínuas:

Limites Notáveis

Apresento aqui alguns dos limites notáveis:

Para a explicação da resolução de exercícios com limites notáveis com exponenciais e logaritmos encontrei sites muito interessantes, tais como:


http://www.youtube.com/watch?v=KZ-nSaiqB6M
http://www.youtube.com/watch?v=3ULjHrxx4M0&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=X-h1q1vYQF8&feature=related

Teorema do Valor Intermédio

Seja f uma função contínua em I = [a,b].


Se f(a) < f(b) ou f(b) < f(a) para cada f(a) < L< f(b) ou f(b) < L < f(a) existe pelo menos um c Є (a;b) tal que f(c) = L.

Limites Laterais

À Direita


Seja uma função f e o intervalo (c,a). Dizemos que o limite de f quando x se aproxima de c pela direita é igual a M, representando:
lim f(x) = M
x -> a+

Se para qualquer número Ԑ > 0, existe um número ᵟ > 0 correspondente de tal modo que:
M - Ԑ < f(x) < M + Ԑ, sempre que c < x < c + ᵟ





À Esquerda
Seja uma função f e o intervalo (a,c). Dizemos que o limite de f quando x se aproxima de c pela esquerda é igual a L, representando:

lim f(x) = L

x -> a-


Se para qualquer número Ԑ > 0, existe um número ᵟ > 0 correspondente de tal modo que:L - Ԑ < f(x) < L + Ԑ, sempre que c - ᵟ< x < c.

Teorema da Sandwich

Sejam f, g e h funções definidas num intervalo I exceptopossivelmente em x = a, a Є I. Se para todo o x Є I / {a}tivermos g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) e limx->a g(x) = limx->a h(x) = L, então limx->a f(x) = L.

Limite de uma Função

Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real.
Observe a expressão:

Esta significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente próximo de c. Quando isto ocorre dizemos que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, é L".


É importante focar que a função não tem que estar definida em c mas sim perto de c.

Limite

Definimos Limite de f(x) quando x tende para c como sendo o número L, caso este exista, tal que para todo o ᵋ > 0 (tão pequeno quanto queiramos) existe ᵟ > 0 (suficientemente pequeno) tal que se |x - c|< ᵟ e x ≠ c, então: |f(x) - L|< ᵋ

Função Composta

Uma Função Composta é uma função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função.

Por outras palavras, Função Composta é uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez tem um domínio, ou seja, um dterminado número do domínio de f(x) leva-nos directamente para o domínio de g(x).


Vejamos o seguinte exemplo:


Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pode-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos então:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3

Função Inversa

Dada uma função f : A ® B , se f é bijectora , então define-se a função inversa f ^-1 como sendo a função de B em A , tal que f ^-1 (y) = x .

Assim:
           Uma função admite função inversa quando a função é bijectora.

Função Injectiva, Sobreinjectora e Bijectiva

Função Injectiva é uma função onde cada imagem é de um único objecto.

Imagem 1: Exemplo de uma função injectiva.






Numa Função Sobreinjectora, o contradmínio coincide com o conjunto de chegada.

Imagem 2: Exemplo de uma função sobreinjectora.






Uma Função Bijectiva é uma função onde cada imagem é de um único objecto e o contradomínio coincide com o conjunto de chegada, ou seja, é uma função injectiva e sobreinjectora.

Imagem 3: Exemplo de uma função bijectiva.


Interessante: Este site mostra os conceitos e exemplos destas três funções. http://www.youtube.com/watch?v=z8ceDwCv9H4&feature=related