Classificação de uma Equação Diferencial Ordinária

Ordem:

• A ordem de uma equação diferencial ordinária é dada pela ordem da maior derivada.

Vejamos o seguinte exemplo:

y'' - 3y' + 4y = 0

Esta equação é de segunda ordem, pois a maior derivada é a segunda derivada.


Grau:

• O grau de uma equação diferencial ordinária é dado pelo grau de derivada de maior ordem.

Vejamos um exemplo:

(y⁴ )³ + 3y''' - 7(y')⁸ + x = 0

Esta equação possui ordem 4 e grau 3.

Solução:

• É a função ou funções que satisfazem a equação diferencial.

Interpretação Geométrica:

• A interpretação geométrica faz-se através do campo de direcções o qual nos indica que a função tem uma família de soluções e que apresenta uma constante. Cada seta representa a derivada em cada um dos pontos.

Vejamos o seguinte exemplo:

 

Equação Diferencial

Uma Equação Diferenciável é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na quação na forma das suas respectivas derivadas.

Estas equações dividem-se em dois tipos:

• Equação Diferencial Ordinária (EDO): este tipo de equações possui apenas funções de uma variável e derivadas daquela mesma variável.
• Equação Diferencial Parcial (EDP): este tipo de equações possui funções com mais do que uma veriável e as suas derivadas parciais.

Regra de Primativação por Partes

Quando temos o produto de duas funções f e g temos que as primitivar separadamente e não em conjunto. Assim:


(f . g) = f'g + fg'


∫(f . g)' = ∫(f'g) + ∫(fg')


∫f´g = f . g - ∫fg'

Vejamos um exemplo:

• Resolva ∫ ln(x) dx

f = x ; f' = 1
g = ln(x) ; g' = 1/x

Assim, temos:

 ∫ ln(x) dx = x ln(x) - ∫x. (1/x) = x ln(x) - x +c

Tabela Básica de Integrais Indefinidas

Função	Integral Indefinida
xn, n ≠ -1	∫ xn dx = (1/n + 1) . xn+1  + c
1/x	∫ 1/x dx = ln|x| + c
ax	∫ ax  dx = [1/ln(a)] . ax
sen(x)	∫ sen(x) dx = - cos(x) + c
cos(x)	∫ cos(x) dx = sen(x) + c

Integral Indefinida

Sendo F(x) + c a família de antiderivadas de f, essa corresponde à integral indefinida de f. É representada por:

 

Através do Teorema do Cálculo Fundamental, sabe-se que:

sendo F(x) uma antiderivada de f(x).

Este Teorema mostra-nos que para se calcular uma integral definida necessitamos de determinar uma integral indefinida.

Propriedades de Integrais Definidas

Sejam f e g duas funções integráveis no intervalo [a,b], são válidas as seguintes afirmações:

5  ∫^b_a f(x) ± g(x) = ∫^b_a f(x) ± ∫^b_a g(x)

Área de Superfícies Planas

Considere a seguinte função f(x). Vamos calcular uma área por defeito e outra área por excesso, sendo:

• a área a vermelho corresponde à àrea por defeito;
• aárea a azul corresponde à àrea em excesso.


Tendo que :

Ai < A < As

Desta modo, conclui-se que dividindo o intervalo em 10 subintervalos do mesmo tamanho vamos obter que a área original é tal que:

3,56 < A < 4,31

Nota: Aumentando a subdivisão, obtêm-se aproximações cada vez melhores.